ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

ถ้ากำหนดให้ a = 1 และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
ax = 1x = 1

ข้อสังเกต

• ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ เนื่องจาก เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
• เรายังไม่ทราบนะว่า เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1 และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ ซึ่งจะกล่าวถึงใน เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้ จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

• f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1 ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จึงไม่สนใจ ฐาน (a) ที่เป็น 1
• f(x) = 1x ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล เนื่องจาก f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
• จากเงื่อนไขที่ว่า y = ax, a > 0, a ¹ 1 ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ 0 < a < 1 กับ a > 1
• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a) ดังนี้

ชนิดที่ 1 y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2 y = ax, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน y = ax, 0 < a < 1
ลองศึกษารูปร่างกราฟของฟังก์ชัน y = ax, 0 < a < 1 จากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน y =
วิธีทำ ฟังก์ชัน y = เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนินเชียลที่มีฐาน (a) เป็นจำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยกว่า 1 ( 0 < a < 1 นั่นเอง)
เขียนตารางแสดงจุดผ่านบางจุดของกราฟ y = ดังนี้

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1

จากตัวอย่าง ที่แสดงให้เห็นรูปร่างกราฟของฟังก์ชัน y =จะเห็นได้ว่า

1. ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนลยที่น้อยลงเรื่อย ๆ
2. ค่าของ y จะค่อย ๆ ลดลงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนบวกมากขึ้น

อาจกล่าวได้ว่า เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นจะทำให้ y มีค่าลดลงตามไปด้วย แสดงว่าฟังก์ชันก์ y = จึงเป็นฟังก์ชันลดในโดเมนของฟังก์ชันซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริง ถูกเรียกสั้น ๆ ว่า y = เป็นฟังก์ชันลด

ไฮเพอร์โบลา

บทนิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดที่สองจุดบนระนาบมีค่าคงตัว ซึ่งมากกว่าศูนย์ แต่น้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสอง จุดคงที่นี้เรียกว่า "โฟกัสของไฮเพอร์โบลา" 1. กราฟไฮเพอร์โบลาที่มีควาามสัมพันธ์เป็น มีลักษณะดังนี้

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

ลักษณะของไฮเพอร์โบลา
จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O(0, 0) แกนตามขวางอยู่บนแกน X จุดยอดอยู่ที่จุด A'(-a,0) และ A(a, 0) และ เรียก A'A ว่า แกนตามขวาง และยาว 2a หน่วย (a>0) จุดปลายแกนสังยุดอยู่ที่จุด B'(0, -b) และ B(0, b) และ เรียก B'B ว่า แกนสังยุค และยาว 2b หน่วย (b>0) จุดโฟกัสอยู่ที่จุด F'(-c, 0) และ F(c, 0) และ F'F ยาว 2c หน่วย (c>0) c > a > 0 และ ลาตัสเรกตัม ของไฮเพอร์โบลายาว = เรียก l และ l' ว่า เส้นอะซิมโทด (asymptode) หรือ เส้นกำกับ และมีสมการเป็น eccentricity * ของไฮเพอร์โบลา * eccentricity คือ อัตราส่วนของระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัส และระยจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอดเขียนแทนด้วย e
ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการไฮเพอร์โบลา เมื่อผลต่างของระยะจากจุดใดๆ บนไฮเพอร์โบลาไปยังจุด (5, 0) และ (-5, 0) เท่ากับ 8 หน่วย วิธีทำ เนื่องจากจุด (5, 0) และ (-5, 0) เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) และ c = 5 แกนตามขวางอยู่บนแกน X และจากผลต่างเทว่ากับ 8 หน่วย จะได้ 2a = 8 นั่นคือ a = 4 เนื่องจาก b = c- a จะได้ b = 5 - 4 b = 25 - 16 = 9 b = 3 สมการอยู่ในรูป จะได้สมการที่ต้องการคือ หรือ 9x - 16y = 144 จุดยอดอยู่ที่จุด A'(-4, 0) และ A(4, 0) จุดปลายแกนสังยุดอยู่ที่จุด B'(0, -3) และ B(0, 3) สมการเส้นกำกับคือ y = x 3x + 4y = 0 หรือ 3x - 4y = 0 ลาตัสเรกตัมยาวเท่ากับ = หน่วย e =

พาราโบลา

พาราโบลา

	จากรูปจะได้ความสัมพันธ์จุดแต่ละจุดอยู่ห่างจากเส้นตรง l และจุดที่กำหนดให้เป็นระยะทางเท่ากันคือ AM = MF BL = LF VK = KF DJ = JF EI = IF เมื่อเขียนจุดทั้งหมดในระนาบ จะได้กราฟที่เรียกว่า พาราโบลา

บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

ส่วนประกอบของพาราโบลา - เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา - จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ - จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา - เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา - เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0)
สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้
ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา

ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา
PR = PQ
=
x² - 2cx + c² + y² = x² - 2cx + c²
y² = 4cx เมื่อ c > 0

ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย

ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y² = 4cx เมื่อ c < 0
จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส

สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น
x² = 4 c c
x² = 4 c²
ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0)
แสดงว่า AF = 2c
เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c
นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย
โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า
ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย

ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0
ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย

มีสมการ x² = 4cy เมื่อ c > 0

สมมุติให้ P(x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา
จากนิยาม PF = PQ
=
x² + y² - 2cy + c² = y² + 2cy + c²
x² = 4cy เมื่อ c > 0

ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ

ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา
x² = 4cy เมื่อ c < 0

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)

การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y
1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x

รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k)
โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c
ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(y')² = 4cx'
แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า
y' = y - k และ x' = x - h
ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(y - k)2 = 4c(x - h)

เมื่อ c > 0

รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ

(y - k)2 = 4c(x - h)

เมื่อ c < 0

จากสมการ (y - k)² = 4c(x - h)
กระจายได้ y² - 2ky + k² = 4cx - 4ch
y² - 2ky + - 4cx + k² + 4ch = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k² + 4ch
จะได้ y² + Ay + Bx + C = 0

จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y

รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k)
โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c
ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(x')2 = 4cy'
แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า
x' = x - h และ y' = y - k
ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h)2 = 4c(y - k)

เมื่อ c > 0

รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ

(x - h)2 = 4c(y - k) เมื่อ c < 0

เมื่อ c < 0

จากสมการ (x - h)2 = 4c(y - k)
กระจายได้ x² - 2hx + h² = 4cy - 4ck
x² - 2hx - 4cy + h² + 4ck = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h²+ 4ck
จะได้ y² + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ
ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)