Socail Math.: ฟังก์ชั่น (Functions)

ฟังก์ชั่น (Functions) เป็นความสัมพันธ์ ชนิดหนึ่ง ที่มีสมาชิกตัวหน้า หรือ พิกัดของแกน X ไม่ซ้ำกัน
	$\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r_{1} &=& \left \{ (1,p ),(2,q )(3,r ),(4,s )\right \} \end{array}$ จากความสัมพันธ์ช้างต้น เราเห็นได้ทันทีว่าสมาชิกตัวหน้าไม่ซ้ำ ดังนั้น $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r_{1} \end{array}$ เป็นฟังก์ชั่น $\color{Red}\large\begin{array}{rcl}r_{2} &=& \left \{ (4,p ),(4,q )(5,r ),(6,s )\right \} \end{array}$ จากความสัมพันธ์ช้างต้น เราเห็นได้ทันทีว่าสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน ดังนั้น $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r_{2} \end{array}$ ไม่เป็นฟังก์ชั่น
	ในกรณีที่ ความสัมพันธ์อยู่ในรูปเงื่อนไขเราไม่สามารถมองเห็น สมาชิกได้ เราสามารถวาดรูปเพื่อการพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชั่นหรือไม่ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r_{3} &=& \left \{ (x,y ) \mid y = x^{2}\right \} \end{array}$ สามารถวาดกราฟของฟังก์ชั่นได้ดังนี้ ฟังก์ชั่นกำลังสอง
	เราสามารถ ตรวจสอบการเป็นฟังก์ชั่น ได้โดยการลากเส้น ขนานกับแกน Y - ถ้าตัดกราฟ หนึ่งจุด เป็นฟังก์ชัั่น - ถ้าตัดกราฟ มากกว่า หนึ่งจุด ไม่เป็นฟังก์ชัั่น
	ดังนั้น จากสมการ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y = x^{2}\end{array}$ เมื่อเราทำการลากเส้นขนานแกน Y เราจะได้
	ในทำนองเดียวกัน เมื่อเราพิจารณา $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r_{4} &=& \left \{ (x,y ) \mid x = y^{2}\right \} \end{array}$ วาดกราฟได้ดังนี้ เมื่อนำต้องการดูว่า เป็นฟังก์ชั่นหรือไม่ ทำการลากเส้นขนานแกน Y เราจะได้ จากภาพ ลากเส้นขนานแกน Y แล้วได้จุดตัด มากกว่า 1 จุด ดังนั้น สมการ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}x = y^{2}\end{array}$ ไม่เป็นฟังก์ชั่น
	ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญญลักษณ์ กรณีืี่ความสัมพันธ์ r เป็นฟังก์ชั่น เราจะเขียน y = f(x) แทน $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}(x,y )\, \epsilon\, \, r\end{array}$ และเรียก f(x) ว่าเป็นค่า ของฟังก์ชั่น f ที่ x อ่านว่า เอฟที่ เอ็กซ์ หรือ เอฟเอ็กซ์
	เรามาดูตัวอย่างของสมการ และกราฟของสมการ ที่เป็นฟังก์ชั่น เพราะมีสมาชิก ตัวหน้า คือพิกัด x ไม่ซ้ำกัน และเมื่อเราลากเส้น ขนานแกน Y ได้จุดตัดกราฟเพียงจุดเดียว 1. ฟังก์ชั่นกำลังสอง
	2. ฟังก์ชั่นรากที่สอง
	3. ฟังก์ชั่นกำลังสาม
	4. ฟังก์ชั่นส่วนกลับ
	5. ฟังก์ชั่นส่วนกลับกำลังสอง
	6. ฟังก์ชั่นส่วนกลับกำลังสอง
	7. ฟังก์ชั่นค่าสัมบูรณ์
	ต่อไปเรามาดู ตัวอย่างของฟังก์ชั่น
	ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ เป็นฟังก์ชั่น จาก X ไป Y หา $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(6) , f(-2), f(-4), f(4), f(2)\end{array}$
	วิธีทำ เราสามารถหาค่าของฟังก์ชั่นได้ดังต่อไปนี้ จาก $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(6) &=& \, \, \,\, 0 \\f(-2) &=& \, \, \, \, 4 \\f(-4) &=& -6 \\f(4) &=& \, \, \, \, 4 \\f(2) &=& -3 \end{array}$
	ตัวอย่างที่ 2 $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(x) = 3x^{2} + 1 \end{array}$ จงหาค่าของ f(0) , f(5) , f(-2) , f(t) , f( x + 1) , f(t) + 1 , f(x+h) , $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}$ , $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(a^{2})\end{array}$ , $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(x-y) \end{array}$
	วิธีทำ เราสามารถหาค่าของฟังก์ชั่นได้ดังต่อไปนี้ จาก $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(x) &=& 3x^{2} + 1 \\\\f(0) &=& 3(0)^{2} + 1 = 0 + 1= 1\\\\f(5) &=& 3(5)^{2} + 1 = 3(25) + 1= 76\\\\f(-2) &=& 3(-2)^{2} + 1 =3(4) + 1= 13 \\\\f(t) &=& 3(t)^{2} + 1 =3t^{2} + 1 \\\\f(x+1) &=& 3(x+1)^{2} + 1 \\&=& 3(x^{2}+2x + 1) + 1 \\ &=& 3x^{2}+6x + 3 + 1 \\&=& 3x^{2}+6x + 4 \\\\f(t) + 1 &=& (3t^{2} + 1) + 1 \\&=& \: \, 3t^{2} +2 \\\\f(x+h) &=& 3(x+h)^{2} + 1 \\&=& 3(x^{2}+2hx + h^{2}) + 1 \\ &=& 3x^{2}+6hx + 3h^{2} + 1 \\\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \frac{(3x^{2}+6hx + 3h^{2} + 1)-(3x^{2} + 1)}{h} \\\\&=& \frac{3x^{2}+6hx + 3h^{2} + 1 - 3x^{2} - 1}{h} \\\\&=& \frac{3h^{2} + 6hx }{h} \end{array}$ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(a^{2}) &=& 3(a^{2})^{2} + 1 \\&=& 3a^{4} + 1\end{array}$ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}f(x-y) &=& 3(x-y)^{2} + 1 \\&=& 3[(x-y)(x-y)] + 1 \\&=& 3[x^{2}-2xy+y^{2}] + 1 \\&=& 3x^{2}-6xy+3y^{2} + 1\end{array}$