ถ้า A
¹ 0 แสดงว่าค่า
A เป็น
1
ถ้า A
¹ 1 แสดงว่าค่า
A เป็น
0
ซึ่งค่าดังกล่าวนี้จะเรียกว่า “ค่าความจริง” ของตัวแปร A หรือเรียกสั้น ๆ ว่า “ค่าของ
A”
1. AND ใช้สัญลักษณ์คือ จุด ( × ) หรืออาจไม่มีจุดก็ได้ เมื่อตัวคงที่ 2 ตัว AND
กัน ผลของการกระทำ AND จะเป็น 1 ได้ก็ต่อเมื่อตัวคงที่ทั้งสองต้องเป็น 1 นั่นคือ
0 × 0 =
0
0 × 1 =
0
1 × 0 =
0
1 × 1 =
1
2. OR ใช้สัญลักษณ์คือ บวก ( + ) เมื่อตัวคงที่ 2
ตัว OR กัน ผลของการกระทำ OR จะเป็น 1 ได้ก็ต่อเมื่อตัวคงที่ตัวใดตัวหนึ่งเป็น
1 หรือทั้งสองตัวเป็น 1 นั่นคือ
0 + 0
= 0
0 + 1
= 1
1 + 0
= 1
1 + 1
= 1
1
หรือ
1¢ =
0
0
หรือ
0¢ =
1
นิพจน์
(Expression) หมายถึง กลุ่มเทอมที่ถูกกระทำกันด้วยตัวกระทำ เช่น
A
× B + C × D เป็นต้น
ปกติเรามักจะเรียกว่า Logic Expression หรือ Boolean
Expression โดยมีหลักการตีค่าของลำดับความสำคัญของการกระทำในนิพจน์
(Expression) ต่าง ๆ ดังนี้
1. ถ้าไม่มีวงเล็บให้ถือการกระทำของ “AND” ก่อน
“OR” เช่น
A × B + C × D
อันดับแรกให้ทำ
A × B และ
C × D ก่อน
อันดับที่สอง
ให้เอาผลของ (A × B) มา
OR กับ ผลของ (C × D)
2. ถ้ามีวงเล็บ
ให้กระทำในวงเล็บก่อน โดยถ้ามีวงเล็บซ้อนกันหลาย ๆ ชั้น
ให้กระทำในวงเล็บชั้นในที่สุดก่อนตามลำดับออกมา เช่น
(A + B) ×{A×(B+C)+D}
อันดับแรก ให้ทำ
(B+C) ก่อน แล้วมา AND กับ A
ผลลัพธ์ที่ได้จึงมา OR กับ
D
อันดับที่สอง ให้ทำ
(A+B) แล้วจึงนำผลลัพธ์ มา AND กับผลลัพธ์ของวงเล็บปีกกา
3. ตัวแปรหรือสัญลักษณ์ตัวอักษรที่อยู่ในแต่ละเทอมของ Expression ที่เหมือนกัน จะถือว่าเป็นตัวแปรตัวเดียวกัน โดยจะคิดให้เหลือเพียงตัวแปร
1 ตัวเท่านั้น
4. สำหรับตัวกระทำ “NOT” จะกระทำก่อนหรือหลัง
“AND” และ “OR” นั้น ขึ้นอยู่กับ
ความยาวของ Bar ว่าครอบคลุมเพียงตัวแปรเดียวหรือทั้งหมด
เช่น
A × B หรือ A × B¢ ให้ NOT B
ก่อน แล้วจึง AND กับ
A
ฟังค์ชัน
(Function) หมายถึง สมการที่แสดงให้ทราบถึงผลการถูกกระทำกันของเทอมและนิพจน์ต่าง ๆ ปกติ
เรียกว่า Logic Function หรือ Boolean Function เช่น
f(X,Y,Z) =
X × Y + X¢× Z
ฝั่งทางด้านซ้ายมือ
เป็นผลลัพธ์ที่ได้ เรียกว่า Output or Logic output
ฝั่งทางด้านขวามือ
เป็นกลุ่มของตัวแปรที่ประกอบด้วย Term หรือ Expression
เป็นตัวถูกกระทำ เรียกว่า Input หรือ
Logic input
ตารางความจริง
(Truth
Table) หมายถึง ตารางที่แสดงผลของค่าความจริงของนิพจน์หรือ Logic output เมื่อค่าตัวแปรต่าง ๆใน Function มีค่าเปลี่ยนแปลงไปต่าง ๆ กัน เช่น
|
B
|
A×B
|
|
A
|
B
|
A+B
|
|
A
|
A
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
|
|
|
|
Y
|
Z
|
X×Y
|
X
|
X ×
Z
|
F
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
4.3 สูตรและกฎของพีชคณิตบูลีน
ทฤษฎีบทที่
1 กฎการสลับที่
(Commutative
law)
a) A + B = B + A
b) A × B = B ×A
ทฤษฎีบทที่
2 กฎการจัดหมู่
(Associative
law)
a) (A + B) + C =
A + (B + C)
b) (A × B) × C =
A × (B × C)
ทฤษฎีบทที่
3 กฎการกระจาย
(Distributive
law)
a) A × (B + C) =
A × B + A × C
b) A + (B × C) =
(A + B) × (A +
C)
ทฤษฎีบทที่
4 กฎเอกลักษณ์
(Identity
law)
a) A + A = A
b) A × A = A
ทฤษฎีบทที่
5 กฎการนิเสธ
(Negation
law)
ทฤษฎีบทที่ 6 กฎการลดรูปเยิ่นเย้อหรือการดูดกลืน (Redundance law or
Absorption law)
a) A + A×B = A
ทฤษฎีบทที่
7 คุณสมบัติเกี่ยวกับการกระทำระหว่างตัวคงที่กับตัวแปรใด ๆ
a) 0 + A = A
ทฤษฎีบทที่
8
a) A + A = 1
ทฤษฎีบทที่
9
ทฤษฎีบทที่
10 ทฤษฎีของเดอมอร์แกน
(De Morgan’s
Theorem)
ทฤษฎีบทเพิ่มเติม
คุณสมบัติการกลืนหายหรือความสอดคล้องกัน (Consensus
law)
a) A ×B + A × C + B × C = A × B + A × C
การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีชคณิตบูลีนนั้น เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี
แต่มีวิธีหนึ่งที่ง่ายและเห็นได้ชัดเจนที่สุด คือการใช้ตารางความจริงในการพิสูจน์
ตัวอย่างที่
4.2
จงพิสูจน์ว่าทฤษฎีของเดอมอร์แกนเป็นความจริง
พิสูจน์
โดยใช้ตารางความจริง
|
B
|
A +
B
|
A + B
|
A
|
B
|
A×
B
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
B
|
A ×
B
|
A ×
B
|
A
|
B
|
A+ B
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
การพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีชคณิตบูลีนอีกวิธีหนึ่งนั้น เป็นการนำเอาทฤษฎีบทอื่น
ๆ ที่เรายอมรับแล้วมาใช้ในการพิสูจน์
ตัวอย่างที่
4.3
จงพิสูจน์ว่าคุณสมบัติการกลืนหายเป็นความจริง
a) A ×B + A × C + B × C = A × B + A × C
พิสูจน์ โดยใช้ทฤษฎีบทอื่น
ๆ
= A × B + A × C + B × C × (A + A) (บท
8a)
= A × B + A × C + A ×B × C + A ×B × C (บท 3a)
= A×B×(1 + C) + A
×C × (1 + B) (บท
3a)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น