การแก้ไขปรับปรุงเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยฮิลแบร์ท

การแก้ไขปรับปรุงเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยฮิลแบร์ท

                เปอาโน, จูเซปเป(Peano, Giuseppe. คศ. 1858-1932) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีได้ให้คำว่า จุดและระหว่าง เป็นคำอนิยาม เปอาโนมีความเห็นว่าเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้สมมุติฐานที่ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนเกี่ยวกับจุดและเส้นจึงควรเปลี่ยนข้อความต่างๆที่ใช้ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ เช่น แทนที่จะกล่าวว่า
“Two points determine a straight line”เปอาโนจะกล่าวว่า”Two X’s determine a Y”การเรียบเรียงทฤษฎีบทต่างๆตลอดจนการพิสูจน์ของเปอาโน จึงอยู่ในรูปสัญลักษณ์ทางพืชคณิต

                แพริ,มาริโอ(Pieri,Mario. คศ.1860-1913)นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี มีผลงานทางเรขาคณิตที่แตกต่างจากนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ท่านได้ให้คำว่า จุด และ การเคลื่อน(motion)เป็นคำอนิยาม ซึ่งปัจจุบันคำว่าการเคลื่อน มีความหมายเช่น เดียวกับคำว่าฟังก์ชัน หรือ การแปลง (transformation)แพริได้กำหนดสัจพจน์ที่เป็นมโนมติของคำว่าการเคลื่อนที่ไว้ 5 ข้อ ซึ่งสัจพจน์ทั้ง 5 ข้อนี้สามารถดัดแปลงให้เหมาะสมกับการพิสูจน์เกี่ยวกับการยกรูปทับ แพริมีแนวคิดว่า เราขาคณิตแบบยุคลิดเป็นการศึกษาเกี่ยวกับสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างโครงรูปของจุดซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่างภายใต้การเคลื่อนที่แบบเกร็ง แนวความคิดนี้แม้ว่าจะไม่เป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวาง แต่ภายหลังปลายศตวรรษที่ 20 ก็ได้มีการสร้างเรขาคณิตดังกล่าว

                ฮิลแบร์ท่านสอนวิชารากฐานเรขาคณิต ที่มหาวิทยาลัยเกอทิงเงน (Gottinggen) มีผลงานการบรรยายเกี่ยวกับการอภิปรายถึงระบบสัจพจน์ในรายวิชาเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยได้พิมพ์ลงในวารสารในหัวข้อเรื่อง”รากฐานเรขาคณิต”(Grundiagen be Geometries)ซึ่งเป็นผลงานที่มีชื่อเสียง ได้รับการตีพิมพ์หลายครั้งหลายหน ผลงานดังกล่าวได้พัฒนาสัจพจน์ในวิชาเรขาคณิตแบบยุคลิดในระนาบและปริภูมิซึ่งมีแนวคิดเกี่ยวกับการอนุมานที่ลึกซึ้ง  อีกทั้งยังไม่มีสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์เหมือนของพาซก์และเปอาโน จึงทำให้เข้าใจง่าย นักเรียนที่มีสติปัญญาปานกลางในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายก็สามารถอ่านได้อย่างเข้าใจ ผลงานดังกล่าว ฮิลแบร์ได้กำหนดคำอนิยาม 6 คำ และสัจพจน์ 21 ข้อสำหรับเรขาคณิตในปริภูมิ สำหรัยเรขาคณิตในระนาบ ฮิลแบร์ทได้กำหนดคำอนิยาม 5 คำ คือ จุด เส้น อยู่บน ระหว่าง และ เท่ากันทุกประการ และกำหนดสัจพจน์ 15 ข้อแบ่งเป็น 5 กลุ่มดังต่อไปนี้ (Adler,1967 :285-286)

                กลุ่ม I  :   สัจพจน์การเชื่อมโยง

                    I-1 มีเส้นเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสองจุดต่างกัน

 I-2 เส้นแต่ละเส้นจะมีจุดต่างกันอย่างน้อยสองจุด และเส้นแต่ละเส้นจะมีอย่างน้อย 1 จุด ไม่อยู่บนเส้นนั้น

                กลุ่ม  II  :  สัจพจน์อันดับ

              II-1 ถ้าจุด C อยู่ระหว่างจุดระหว่าง B กับ A ด้วย A และ B แล้ว A,B,C อยู่บนเส้น                     

          ระหว่าง B กับ A ด้วย แต่ B ไม่อยู่ระหว่าง C กับ A และ A ไม่อยู่ระหว่าง C กับ A
         II-2 สำหรับสองจุด A,B ที่ต่างกัน จะมีจุด C ซึ่งอยู่ระหว่าง A กับ B และจะมีจุด D   
              ซึ่ง B อยู่ระหว่าง A กับ D
            II-3 ถ้า A,B,C เป็นจุดสามจุดที่ต่างกันบนเส้นๆ หนึ่ง  แล้วจุดหนึ่งจะอยู่ระหว่างจุด สองจุด

                บทนิยาม  ส่วนของเส้นตรง AB หมายถึง จุด A, จุด B และจุดทุกจุดที่อยู่ระหว่าง A กับ B

                        เรียกจุด A และ B ว่าจุดปลายของส่วนของเส้นตรง และจุด C จะอยู่บนส่วนของ     เส้นตรง AB ถ้า C เป็นจุด A หรือจุด B หรือหรือเป็นจุดที่อยู่ระหว่าง A กับ B

บทนิยาม  เส้นตรงสองเส้น เส้นตรงกับส่วนของเส้นตรง หรือ ส่วนของเส้นตรงสองเส้น จะตัดกัน ถ้ามีจุดซึ่งอยู่บนเส้นทั้งสอง

บทนิยาม  ให้ A,B,C เป็นจุดสามจุด ซึ่งไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน รูปสามเหลี่ยม ABC หมายถึง

              ส่วนของเส้นตรงสามเส้น คือ AB,BC,CA เรียกส่วนของเส้นตรง AB,BC,CA ว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมและเรียกจุด A,B,C ว่าจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

 II-4  สัจพจน์ของพาซก์ เส้นตรงซึ่งตัดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม แต่ไม่ผ่าน

         จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจะตัดด้านใดด้านหนึ่งในสองด้านที่เหลือ

 หมายเหตุ  สัจพจน์ของพาซก์นี้ ในตำราบางเล่ม นิยมให้เป็นทฤษฎีบท โดยนำสัจพจน์การแบ่งระนาบมาเป็นสัจพจน์แทน ซึ่งมีใจความดังนี้  “แต่ละเส้นในระนาบจะบ่งจุดในระนาบออกเป็น 2 ส่วน โดยแต่ละส่วนเป็นเซตนูน กล่าวคือ ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมสองจุดใดๆที่อยู่ในส่วนเดียวกัน จะไม่ตัดเส้นแบ่งระนาบ และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อม

สองจุดใดๆที่อยู่ต่างส่วนกันจะตัดเส้นแบ่งระนาบเสมอ”ในตำราบางเล่มใช้สัจพจน์ของพาซก์เป็นสัจพจน์ แต่ใช้สัจพจน์ของการแบ่งแยกระนาบเป็นทฤษฎีบท

กลุ่ม III: สัจพจน์การเท่ากันทุกประการ

                III-1 ถ้า A และ B เป็นจุดต่างกัน และ A' เป็นจุดบนเส้นตรง m แล้ว จะมาจุดสองจุดที่ต่างกัน คือ B' และ B''บน m ซึ่งส่วนของเส้นตรง A'B'
 เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง AB และ ส่วนของเส้นตรง A'B''

ท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง AB โดยที่ A' อยู่ระหว่าง B' กับ B''

                III-2 ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรงเดียวกันแล้วส่วนของเส้นตรงทั้งสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ

                III-3 ถ้าจุด C อยู่ระหว่าง A และ B จุด C' อยู่ระหว่างจุด A' และ B'

  และถ้าส่วนของเส้นตรง AC เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง A'C'

 และส่วนของเส้นตรง CB เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง C'B'

 แล้วส่วนของเส้นตรง AB เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง A'B'

บทนิยาม รังสี AB หมายถึง เซตของจุดที่ประกอบด้วย จุดที่อยู่ระหว่าง A กับ B รวมทั้ง จุด B และจุด C ทั้งหมด ซึ่ง B อยู่ระหว่าง A กับ C เรากล่าวว่า รังสี AB ออกจาก จุด A

ทฤษฎีบท ถ้า B' เป็นจุดใดๆ บนรังสี AB แล้ว รังสี AB' และรังสี AB เป็นรังสีเดียวกัน

บทนิยาม มุม หมายถึง จุดๆ หนึ่งและรังสีสองรังสีที่ออกจากจุดนั้น เรียกจุดนั้นว่าจุดยอดของมุมและเรียกสองรังสีนั้นว่า แขนของมุม ถ้า A เป็นจุดยอด และจุด B, C อยู่บนแขนแต่ละแขนของมุม เราเรียกชื่อมุมดังกล่าวว่า มุม BAC หรือ มุม CAB

 
บทนิยาม ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เราเรียกมุม BAC, CBA, ACB ว่า มุมของรูปสามเหลี่ยม

                เรียกส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมมุมว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม  

                III – 4    ถ้า ABC เป็นมุมซึ่งแขนของมุมไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน และถ้า A', B' เป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกันแล้ว จะมีสองรังสีเท่านั้นคือ A' C' และ A' C' ซึ่งมุม B' A' C' เท่ากันทุกประการกับมุม BAC และมุม B' A' C'' เท่ากันทุกประการกับมุม BAC โดยที่ ถ้า D' เป็นจุดใด ๆ บนรัง A' C' และ D'' เป็นจุดใด ๆ บนรังสี A' C'' แล้วส่วนของเส้นตรงD' D'' ตัดกับเส้นตรงที่เกิดจากจุด A' และ B'

              III - 5    มุมทุกมุมต่างก็เท่ากับตัวมันเอง

              III – 6   ถ้าด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองของรูปสาม

         เหลี่ยมรูปหนึ่งเทากันทุกประการกับด้านสอง  ด้านและมุมระหว่างด้าน

        ทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งแล้ว มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม

        รูปแรกจะเท่ากันทุกประการกับมุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมอีกรูป

กลุ่ม IV: สัจพจน์เส้นขนาน

           IV – 1 สัจพจน์เพลย์แฟร์ที่ จุด A ซึ่งไม่อยู่บนเส้น m จะมีเพียงหนึ่งเส้นที่ผ่าน A และไม่ตัดกับ m

กลุ่ม V: สัจพจน์ความต่อเนื่อง

                V – 1   สัจพจน์ของอาร์คิมีดิส

ถ้า   และ  เป็นส่วนของเส้นตรง ซึ่ง   ยาวกว่า     จะมีจำนวนเต็มบวก n ซึ่ง n · CD > AB

                V – 2   สัจพจน์บริบูรณ์

                  บนเส้นใด ๆ ในระบบไม่อาจเพิ่มจุดเพิ่มไปจากเดิมโดยสอดคล้องกับสัจพจน์ที่กล่าวมา

ข้อสังเกต สัจพจน์กลุ่ม 1 อธิบายแนวคิดเกี่ยวกับคำว่า “อยู่บน” ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างจุดกับ     เส้น  สัจพจน์กลุ่ม II อธิบายแนวคิดเกี่ยวกับคำว่า “ระหว่าง” ซึ่ง พาซก์ ได้ริเริ่มเป็นคนแรก สัจพจน์กลุ่มนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าจะมีจุดบนเส้น ๆ หนึ่งจำนวนมากมายนับไม่ถ้วนและไม่มีจุดปลายสิ้นสุดที่จุดใดจุดหนึ่งนั้นคือเส้นยาวไม่จำกัด สำหรับสัจพจน์ของพาซก์

          

               

<>  <>  

 

<>   <>