Socail Math.: เมตริกซ์ผูกผัน

ในระบบจำนวนจริง ถ้า a ไม่ใช้ศูนย์แล้วจะมีจำนวนจริง b ซึ่ง ab = 1 เราเรียกจำนวนจริง b นี้ว่า ถ้าผกผัน
การคูณของ a เขียนด้วยสัญลักษณ์

ทำนองเดียวกัน สำหรับเมตริกซ์จัตุรัส A จะมีบางเมตริกซ์ที่สามารถทำ

เมตริกซ์จัตุรัส B ขนาดเดียวกับ A ซึ่ง AB = BA = I คือ B เป็นเมตริกซ์ผกผันของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

นิยาม 2.3 ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nxn แล้วกล่าวได้ว่า เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Nonsingular Matrix) หรือ

เมตริกซ์ซึ่งหาเมตริกซ์ผกผันได้ และกล่าวว่าเมตริกซ์ B เป็นเมตริกซ์ผกผันของ A

การหาเมตริกซ์ผกผันโดยวิธีผูกผัน (Inverse by Adjoint Method)

นิยาม 2.1 เมตริกซ์ผูกผัน (Adjoins Matrix)

ถ้า A =

จะหาโคแฟคเตอร์เมตริกซ์ของ A ได้

A =

และเมตริกซ์ผูกผันของ A เป็นเมตริกซ์ขนาด n x n ถ้า det A

0 แล้ว

=

หมายเหตุ ถ้า A =

แล้ว

A = = =

จะได้

ทฤษฎีบท 2. 1 . ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด n?n กล่าวว่า A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (Non-singalar Matrix)

ก็ต่อเมื่อ det A

0 หรืออีกนัยหนึ่งว่า A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (Singalar Matrix) ก็ต่อเมื่อ det A

หมายเหตุ วิธีผูกผันเหมาะสำหรับหาเมตริกซ์ผกผันขนาด 2 x2 และ3 x 3 ถ้าใหญ่กว่านี้ จะยุ่งยาก แต่มีวิธี

ที่ง่ายกว่าคือ ใช้วิธีการทำเป็นการเชิงแถว (Row Operation Method)

การใช้การดำเนินการเชิงแถวหาค่าเมตริกซ์ผกผัน (Inverse by Row Operation)

ทฤษฎีบท 2.2 ถ้าเมตริกซ์ A ขนาด n x n สามารถแปลงไปสู่เมตริกซ์เอกลักษณ์ I โดยวิธีการดำเนินการ

เชิงแถว แล้ว A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน และโดยการดำเนินการเดียวกันกับที่แปลง A ไปเป็น I จะแปลง Iไปเป็น

ด้วยคือ

~

ทฤษฎีบท 2.3 คุณสมบัติของเมตริกซ์ผกผัน

\ ให้ A,B เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน และ C เป็นสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์

1. (A ^-1) ^-1 = A
2. (AB) ^-1 = B ^-1A^-1
3. (A T)^-1 = (A^-1) ^T
4. (CA)^-1 = A^-1
5. ถ้า A = แล้วจะได้
A ^-1 =
6. ถ้า A มีอินเวอร์ส และ AB = AC แล้ว B = C
7. ถ้า A มีอินเวอร์ส และ AB = 0 แล้ว B = 0
8. ถ้า A เป็นเมตริกซ์มาตรฐานแล้ว AB และ BA เป็นเมตริกซ์เอกฐาน ด้วย
9. ถ้า AB = 0 และ A 0 , B 0 แล้ว A และ B ไม่มีอินเวอร์สแล้วจะได้

( a ₁₁ - ) X₁+ a ₁₂X ₂ + … + a _1nX_n = 0
a₂₁X ₁+ ( a ₂₂ - ) X ₂ + … + A _2nX_n= 0
a_n1X ₁+ a_nX ₂ + … + ( a _nn. - ) X _n = 0 ( 1 )